Артикул: ID-201610070601
Имя:
Email:
Ваш запрос успешно отправлен!
[закрыть]

  • ЭКОНОМЕТРИКА — КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

    Данные представлены таблицей значений независимой переменной  X и зависимой переменной Y.

    Задание

    1. Вычислить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении связи.
    2. На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.
    3. Составить уравнение парной регрессии .
    4. Нанести данные на чертеж и изобразить прямую регрессии.
    5. С помощью коэффициента детерминации оценить качество построенной модели.
    6. Оценить значимость уравнения регрессии с помощью дисперсионного анализа.
    7. При уровне значимости a = 0,05 построить доверительные интервалы для оценки параметров регрессии ,и сделать вывод об их значимости.
    8. При уровне значимости a = 0,05 получить доверительные интервалы для оценки среднего и индивидуального значений зависимой переменной Y, если значение объясняющей переменной X принять равным .

    Исходные данные для контрольной работы №1 по вариантам:

     

    1

    		 x 56 70 81 78 64 60 72 79 89 98
    y 24 37 42 34 29 25 31 35 42 48
                     

     

     

    2

    		 x 76 87 99 91 84 90 98 106 99 91
    y 54 61 66 60 53 59 67 74 69 62
                     

     

     

    3

    		 x 95 104 113 102 96 89 98 109 116 103
    y 44 48 55 49 41 34 42 48 57 47
                     

     

     

    4

    		 x 66 60 49 42 50 55 61 57 51 44
    y 39 36 30 27 31 35 40 37 32 26
                     

     

     

    5

    		 x 100 94 90 87 93 99 105 111 104 98
    y 77 72 68 63 67 70 77 82 79 73
                     

     

     

    6

    		 x 99 110 117 122 115 101 94 104 114 123
    y 53 60 68 73 69 62 54 61 67 72
                     

     

     

    7

    		 x 54 63 69 76 81 75 70 72 78 86
    y 22 27 34 39 42 37 33 35 38 45
                     

     

     

    8

    		 x 90 97 107 116 104 96 106 118 109 101
    y 55 61 67 83 78 73 80 85 78 71
                     

     

     

    9

    		 x 48 56 58 61 65 63 60 56 60 64
    y 30 33 35 38 41 39 36 33 35 38
                     

     

     

    10

    		 x 91 85 81 85 89 93 90 86 80 84
    y 62 55 49 54 60 69 61 54 50 53
                     

    РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Пусть имеются следующие данные:

    x 83 72 69 90 90 95 95 91 75 70
    y 56 42 18 84 56 107 90 68 31 48
                     
    1. Вычисление коэффициента корреляции проведем по формуле ,

    а расчёт параметров  и  выборочного уравнения парной регрессии  соответственно по формулам ,   ,

    где  ,  ,  а  объём выборки.

    Для расчётов удобно использовать следующую таблицу:

    Таблица 1.1

    №
    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    1 83 56 6889 3136 4648 60,000 4,000 16,000
    2 72 42 5184 1764 3024 34,678 -7,322 53,612
    3 69 18 4761 324 1242 27,772 9,772 95,492
    4 90 84 8100 7056 7560 76,114 -7,886 62,189
    5 90 56 8100 3136 5040 76,114 20,114 404,573
    6 95 107 9025 11449 10165 87,624 -19,376 375,429
    7 95 90 9025 8100 8550 87,624 -2,376 5,645
    8 91 68 8281 4624 6188 78,416 10,416 108,493
    9 75 31 5625 961 2325 41,584 10,584 112,021
    10 70 48 4900 2304 3360 30,074 -17,926 321,341
    830 600 69890 42854 52102 600,00 0,000 1554,796

    З а м е ч а н и е. Столбцы 7 – 9 таблицы 1 заполняются после получения выборочного уравнения прямой регрессии и  будут необходимы для выполнения последующих пунктов задания.

    Используя результаты вычислений, представленные в таблице 1.1, найдём значение выборочного коэффициента корреляции:

    Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что между переменными  и  имеется высокая корреляционная связь. Данная связь характеризуется как положительная, т. е. с увеличением одной из переменных значения другой переменной также увеличиваются.

    1. Для оценки значимости коэффициента корреляции следует использовать статистику,

    которая в условиях нулевой гипотезы  имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным . В нашем случае получаем следующее расчётное значение статистики:.

    Используя таблицы распределения Стьюдента при заданном уровне надёжности  () и числе степеней свободы, равном 8, определим критическое значение статистики.

    Поскольку  > , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о значимости коэффициента корреляции.

    1. Для того чтобы составить выборочное уравнение прямой регрессии, необходимо вычислить коэффициенты и . Используя результаты расчётов, представленных в таблице 1.1, находим.

    Таким образом, получаем следующее регрессионное уравнение:

    Y = -131,066 + 2,302*X .

    Прямая регрессии представлена на рис.1.1.

    Рис. 1.1.

    1. Качество регрессионной модели может быть оценено с помощью коэффициента детерминации , который определяется формулой,

    где ,  – расчётные (прогнозные) значения величины , полученные подстановкой соответствующих значений X в уравнение регрессии. Для вычисления этих значений используются столбцы 7 – 9 таблицы 1.1. В нашем случае имеем  .

    Коэффициент детерминации показывает, какую часть вариации (дисперсии) зависимой переменной Y  воспроизводит (объясняет) построенное уравнение регрессии. В нашем случае построенное уравнение регрессии на 77,3% объясняет зависимость переменной  от переменной X.

    З а м е ч а н и е. Для проверки правильности расчётов можно воспользоваться соотношением .

    1. Проверка значимости уравнения регрессии заключается в установлении его существенности. Другими словами эта проверка даёт ответ на вопрос о том, насколько можно быть уверенным, что рассматриваемая регрессионная зависимость действительно наличествует в генеральной совокупности, а не является результатом случайного отбора наблюдений.

    Проверка значимости регрессионной зависимости производится методом однофакторного дисперсионного анализа, где в качестве фактора выступает построенное уравнение регрессии. Результаты дисперсионного анализа принято представлять в виде стандартной таблицы 1.2.

    Таблица 1.2

    Компоненты вариации Сумма квадратов Число степеней свободы Средние

    квадраты

    		 F —отношение
    Регрессия 1
    Остаточная
    Общая  

    В нашем случае при расчёте сумм квадратов следует принять во внимание следующие равенства:;

    С учётом результатов, представленных в таблице 1.1, получим следующие значения:;  ;  .

    Тогда таблица дисперсионного анализа  примет вид таблицы 1.3.

    При отсутствии линейной зависимости между переменными X и Y  статистика   имеет распределение Фишера с числом степеней свободы ;  n –2 = 8.

    Таблица 1.3

    Компоненты вариации Сумма квадратов Число степеней свободы Средние

    квадраты

    		 F —отношение
    Регрессия 5299,204 1 5299,204
    Остаточная 1554,796 8 194,350
    Общая 6854,000 9  

    Принимая стандартный 5% уровень значимости, в таблице критических точек распределения Фишера находим .

    Поскольку  превышает , то делаем вывод о значимости уравнения регрессии.

    1. Исправленные выборочные оценки стандартных отклонений (ошибок) МНК-коэффициентов регрессии вычисляются по формулам

    Используя результаты вычислений из предыдущих пунктов, получаем

    ;

    83,6.

    Отсюда

    0,441;

    36,88.

    Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии  и  имеют соответственно вид;.

    Если окажется, что  доверительный интервал включает 0, то соответствующий коэффициент регрессии объявляется незначимым.

    При заданном уровне значимости  a = 0,05 и числе степеней свободы, равном , где  заданный объем выборки (у нас ) критическое значение статистики Стьюдента .

    Теперь строим доверительные интервалы для  и  соответственно:

    ;=.

    Поскольку ни  один из полученных интервалов не включает нулевое значение, делаем вывод о значимом отличии от нуля коэффициентов  и .

    1. Интервал для прогноза среднего значения зависимой переменной при значении объясняющей переменной (точнее, прогноза ) по линейному уравнению регрессии имеет вид

    ,

    где  находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента для заданных значений g  и числа степеней свободы   (в случае парной регрессии).  Мы уже  знаем, что  при   и         g = 0,95 (т.е. )  .

    Вычисляем  с учетом полученных ранее результатов:

    .Из выборочного уравнения прямой регрессии имеем

    .Получаем окончательный вид искомого доверительного интервала:

    ==

    или

    Для расчета доверительного интервала возможных индивидуальных значений наблюдений при значении объясняющей переменной  применяется формула, где

    ==.

    Окончательно получаем

    ==


    Нужна готовая работа? пришлите ссылку на страницу в WhatsApp 79264944574

    Артикул: ID-201610070601

    Categories: КОНТРОЛЬНЫЕ